Simplification
PART-B Unit I: Aptitude
PART-B • Unit I: Aptitude & Mental Ability
Simplification (சுருக்குதல்) • 15 Model Questions
எளிதிலிருந்து சிக்கலானது வரை எளிது வரை சிக்கலானது படிப்படியான கணிதத் தீர்வுகள் மற்றும் LaTeX சூத்திரங்களுடன் ஒழுங்குபடுத்தப்பட்டுள்ளது
Level 1: Basic BODMAS, Mixed Fraction Series & Standard Surds
எளிது
Question 01
BODMAS செயல்களின் வரிசை
சுருக்குக: \(100 + 8 \div 2 + \{(3 \times 2) - 6 \div 2\}\)
💡 விளக்கம்:
- படி 1 (உள் அடைப்புக்குறிகள்): \((3 \times 2) = 6\) and \(6 \div 2 = 3\) \[\{(3 \times 2) - 6 \div 2\} = \{6 - 3\} = 3\]
- படி 2 (வகுத்தல்): \(8 \div 2 = 4\)
- படி 3 (கூட்டல்): \[100 + 4 + 3 = \mathbf{107}\]
Question 02
கலப்பு பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகை
சுருக்குக: \(999\frac{1}{7} + 999\frac{2}{7} + 999\frac{3}{7} + 999\frac{4}{7} + 999\frac{5}{7} + 999\frac{6}{7}\)
💡 விளக்கம்:
- Separate the whole numbers and fractional parts: \[= (999 + 999 + 999 + 999 + 999 + 999) + \left(\frac{1}{7} + \frac{2}{7} + \frac{3}{7} + \frac{4}{7} + \frac{5}{7} + \frac{6}{7}\right)\]
- Whole number part: \(999 \times 6 = 5994\)
- Fractional part: \(\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{7} = \frac{21}{7} = 3\)
- மொத்தக் கூடுதல்: \(5994 + 3 = \mathbf{5997}\)
Question 03
உள்ளடங்கிய வர்க்கமூல விகிதமுறா எண்
சுருக்குக: \(\sqrt{49} + \sqrt{220 + \sqrt{16 + \sqrt{81}}}\)
💡 விளக்கம்:
- Evaluate step-by-step from the innermost radical: \[\sqrt{81} = 9\] \[\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\] \[\sqrt{220 + 5} = \sqrt{225} = 15\]
- வெளிப்புற உறுப்பு: \(\sqrt{49} = 7\)
- மொத்த மதிப்பு: \(7 + 15 = \mathbf{22}\)
Question 04
முடிவிலா பெருக்கல் உள்ளடங்கிய விகிதமுறா எண்
மதிப்பைக் காண்க: \(\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\cdots}}}\):
💡 விளக்கம்:
- என்க \(x = \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\cdots}}}\).
- இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்தினால்: \[x^2 = 3\sqrt{3\sqrt{3\cdots}}\] \[x^2 = 3x \implies x^2 - 3x = 0 \implies x(x - 3) = 0\]
- என்பதால் \(x \neq 0\), நமக்குக் கிடைப்பது \(x = \mathbf{3}\).
Question 05
இயல் எண்களிலிருந்து கனத் தொடராக மாற்றுதல்
எனில், \(1 + 2 + 3 + \dots + k = 55\), பின்னர் மதிப்பைக் காண்க: \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + k^3\):
💡 விளக்கம்:
- முற்றொருமை: The sum of cubes of first \(k\) natural numbers equals the square of their linear sum: \[1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + k^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + k)^2\]
- கொடுக்கப்பட்டது \(\sum k = 55\): \[\sum k^3 = (55)^2 = \mathbf{3025}\]
Level 2: Indices Laws, Series Summations & Rational Reductions
மிதமானது
Question 06
அடுக்குகளின் விதி (அடியைத் தலைகீழாக்குதல்)
எனில், \(\left(\frac{p}{q}\right)^{1-3x} = \left(\frac{q}{p}\right)^{\frac{1}{2}}\), பின்னர் மதிப்பைக் காண்க: \(x\):
💡 விளக்கம்:
- வலதுபுற அடியை \(\left(\frac{q}{p}\right)^a = \left(\frac{p}{q}\right)^{-a}\): \[\left(\frac{p}{q}\right)^{1-3x} = \left(\frac{p}{q}\right)^{-\frac{1}{2}}\]
- அடுக்குகளைச் சமப்படுத்தினால்: \[1 - 3x = -\frac{1}{2} \implies 3x = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\] \[x = \frac{3}{2 \times 3} = \frac{1}{2} = \mathbf{2^{-1}}\]
Question 07
சுழற்சி அடுக்குகளின் பெருக்கல்
சுருக்குக: \(\left(\frac{m^a}{m^b}\right)^{a+b} \times \left(\frac{m^b}{m^c}\right)^{b+c} \times \left(\frac{m^c}{m^a}\right)^{c+a}\)
💡 விளக்கம்:
- ஒவ்வொரு சுழற்சி காரணியையும் \(\frac{m^a}{m^b} = m^{a-b}\) and \((m^{a-b})^{a+b} = m^{(a-b)(a+b)} = m^{a^2 - b^2}\): \[= m^{a^2 - b^2} \times m^{b^2 - c^2} \times m^{c^2 - a^2}\]
- அடுக்குகளைக் கூட்டினால்: \[= m^{(a^2 - b^2) + (b^2 - c^2) + (c^2 - a^2)} = m^0 = \mathbf{1}\]
Question 08
முதல் \(n\) ஒற்றை எண்களின் கூட்டுத்தொகை
Find the sum of \(1 + 3 + 5 + \dots\) வரை \(40\text{ terms}\):
💡 விளக்கம்:
- சூத்திரம்: முதல் \(n\) தொடர்ச்சியான ஒற்றை இயல் எண்களின் கூடுதல்: \[S_n = n^2\]
- க்கு \(n = 40\text{ terms}\): \[S_{40} = 40^2 = \mathbf{1600}\]
Question 09
க்கான மதிப்பைக் காண்க \(n\) முக்கோணக் கூட்டுத்தொகையில்
எனில், \(1 + 2 + 3 + \dots + n = 666\), பின்னர் மதிப்பைக் காண்க: \(n\):
💡 விளக்கம்:
- முதல் \(n\) இயல் எண்களின் கூட்டுத் தொகைக்கான சூத்திரம்: \[\frac{n(n+1)}{2} = 666 \implies n(n+1) = 1332\]
- ஐ \(1332\) அடுத்தடுத்த இரு முழு எண்களின் பெருக்கலாக எழுதுக: \[1332 = 36 \times 37 \implies n(n+1) = 36 \times 37 \implies n = \mathbf{36}\]
Question 10
விகிதமுறு சமச்சீர் குறியீட்டு சுருக்கம்
சுருக்குக: \(\frac{x^3}{x - y} + \frac{y^3}{y - x}\)
💡 விளக்கம்:
- கவனிக்கவும்: \(y - x = -(x - y)\): \[\frac{x^3}{x - y} - \frac{y^3}{x - y} = \frac{x^3 - y^3}{x - y}\]
- இயற்கணிதக் கன விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துக \(x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)\): \[= \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{x - y} = \mathbf{x^2 + xy + y^2}\]
Level 3: Factored Rational Fractions, Cubic Decimal Identities & Series Limits
சிக்கலானது
Question 11
விகிதமுறு இயற்கணிதப் பல்லுறுப்புக் கோவை வகுத்தல்
எனில், \(\frac{x^2 - 25}{x + 3}\) is divided by \(\frac{x + 5}{x^2 - 9}\), then the quotient is:
💡 விளக்கம்:
- Invert the divisor and factorize differences of squares: \[\frac{x^2 - 25}{x + 3} \div \frac{x + 5}{x^2 - 9} = \frac{(x - 5)(x + 5)}{x + 3} \times \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 5}\]
- Cancel the common factors \((x + 5)\) and \((x + 3)\): \[= \mathbf{(x - 5)(x - 3)}\]
Question 12
விகிதமுறு இருபடி பின்னங்களின் கூட்டல்
சுருக்குக: \(\frac{x+2}{x^2 + 3x + 2} + \frac{x-3}{x^2 - 2x - 3}\)
💡 விளக்கம்:
- பகுதிகளை காரணிகளாகப் பிரிக்கவும்: \[x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)\] \[x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)\]
- மாற்றீடு செய்து பொதுக் காரணிகளை நீக்குக: \[\frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x-3}{(x-3)(x+1)} = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} = \mathbf{\frac{2}{x+1}}\]
Question 13
கன முற்றொருமை தசம சுருக்கம்
மதிப்பைக் காண்க: \(\frac{8.94 \times 8.94 \times 8.94 - 3.56 \times 3.56 \times 3.56}{8.94 \times 8.94 + 8.94 \times 3.56 + 3.56 \times 3.56}\):
💡 விளக்கம்:
- என்க \(a = 8.94\) and \(b = 3.56\). கொடுக்கப்பட்ட கோவை பின்வரும் வடிவில் உள்ளது: \[\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}\]
- இயற்கணித முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\): \[= \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a - b\]
- கணக்கிடுக: \[8.94 - 3.56 = \mathbf{5.38}\]
Question 14
பல அடைப்புக்குறிகள் கொண்ட பின்னச் சுருக்கம்
சுருக்குக: \(\left(-\frac{1}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} \div \left(\frac{2}{3} \times \frac{5}{7}\right) + 8 - \left[5 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right]\right)\)
💡 விளக்கம்:
- படி 1: சதுர அடைப்புக்குறியை மதிப்பிடுக: \[5 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 5 - \frac{3}{4} = \frac{17}{4}\]
- படி 2: வகுத்தல் பகுதியை மதிப்பிடுக: \[\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{10}{21} \implies \frac{1}{3} \div \frac{10}{21} = \frac{1}{3} \times \frac{21}{10} = \frac{7}{10}\]
- படி 3: முக்கிய அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ளவற்றை இணைக்கவும்: \[\frac{7}{10} + 8 - \frac{17}{4} = \frac{14 + 160 - 85}{20} = \frac{89}{20}\]
- படி 4: வெளிப்புறக் கழித்தல்: \[-\frac{1}{3} - \frac{89}{20} = \frac{-20 - 267}{60} = \frac{-287}{60} = \mathbf{-3\frac{41}{60}}\]
Question 15
பெருக்குத் தொடரின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் காணுதல்
பெருக்குத் தொடரான \(1 + 4 + 16 + \dots\) இன் கூடுதல் \(1365\)?
💡 விளக்கம்:
- இங்கு, முதல் உறுப்பு \(a = 1\), பொது விகிதம் \(r = \frac{4}{1} = 4 > 1\).
- பெருக்குத் தொடரின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம்: \[S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \implies 1365 = \frac{1(4^n - 1)}{4 - 1}\] \[1365 \times 3 = 4^n - 1\] \[4095 = 4^n - 1 \implies 4^n = 4096\]
- ஐ \(4096\) இன் அடுக்காக எழுதுக:\(4\): \[4^6 = 4096 \implies n = \mathbf{6}\]
பயிற்சி
இந்த தலைப்பில் பயிற்சி வினாடி வினா
1 வினாக்கள் · விளக்கத்துடன் உடனடி பதில்
Simplification